विभाज्यता के नियम।।

Divisibility Rules ।।

विभाज्यता के नियम (divisibility rule) उन विधियों को कहते हैं जो सरलता से बता देते हैं कि कोई प्राकृतिक संख्या किसी दूसरी संख्या से विभाजित हो सकती है या नहीं। किसी भी आधार वाले संख्या-पद्धति (जैसे, द्वयाधारी या अष्टाधारी संख्याओं) के लिये ऐसे नियम बनाये जा सकते हैं किन्तु यहाँ केवल दाशमिक प्रणाली (decimal system) के संख्याओं के लिये विभाज्यता के नियम दिये गये हैं।

✶ 1 का नियम - सभी पूर्णांक 1 से विभाज्य हैं।

✶ 2 का नियम - दी गयी संख्या का इकाई का अंक 0 , 2 , 4 , 6 , 8 में से होना चाहिए |

० संख्या का अन्तिम अंक सम (0, 2, 4, 6, or 8) हो।

जैसे: 154, 656, 8272, 100 etc.

✶ 3 का नियम - संख्या के अंकों का योग 3 से विभक्त होना चाहिए |

जैसे: 65175 => 6+5+1+7+5=24 etc.

अंकों का योग 24 है और 24 विभाजित है 3 से, इसलिए 65175 विभाजित है 3 से।

✶ 4 का नियम - संख्या के अंतिम दो अंक से बनी संख्या 4 से विभक्त होनी चाहिए |

जैसे: 772724, 7266260, 722612 etc.

० जिस संख्या के इकाई और दहाई के अंक में शून्य हो, वह संख्या भी 4 से विभाजित हो जाती है।

जैसे: 6161600, 7261600 etc.

✶ 5 का नियम - इकाई का अंक 0 या 5 होना चाहिए |

जैसे: 62260, 7125 etc.

✶ 6 का नियम - दी गयी संख्या 2 तथा 3 दोनों से विभक्त होनी चाहिए |

जैसे: 65252, 9816 etc.

✶ 7  का नियम - यदि दी गई संख्या के अंक का दोगुना बाकी संख्या (इकाई का अंक छोड़कर) से घटाने पर प्राप्त संख्या 7 से विभाजित है, तो पूरी संख्या 7 से विभाजित हो जाएगी।

जैसे: 343 में इकाई का अंक 3 है।

3 का दोगुना बाकी संख्या से घटाने पर

(34 - 6 = 28)

दो अंकों की संख्या 28 विभाजित है 7 से, अतः 343 भी 7 से विभाजित है।

Note: अगर घटाने पर भी कोई बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो इन्ही steps को दोहराते रहें।

♂ दी गई संख्या के इकाई अंक को 5 से गुणा करके बची संख्या मे जोड़ने प्राप्त संख्या अगर 7 से विभाजित है तो पूरी संख्या भी 7 से विभाजित हो जाएगी।

जैसे - 273

Step 1: इकाई अंक को 5 से गुणा करो

(3×5=15)

Step 2: गुणनफल को इकाई अंक को छोड़कर बाकी की संख्या मे जोड़ दो

(15 + 27 = 42)

42, जोकि 7 से विभाजित है अतः 273 भी 7 से विभाजित होगा

अगर गुणनफल और बाकी संख्या को जोड़ने के बाद भी कोई बड़ी संख्या बने तो ये चरण दोहराएँ :-

संख्या: 9548

Step 1: (8 × 5 = 40)

Step 2: (40 + 954 = 994)

संख्या 994 लेकर दोनों चरण फिर दोहराएँ,

Step 3: (4 × 5 = 20)

Step 4: (20 + 99 = 119)

संख्या 119 लेकर दोनों चरण फिर से दोहराएँ,

Step 5: (9 × 5 = 45)

Step 6: (45 + 11 = 56)

दो अंकों की संख्या 56, सात से विभाजित है, अतः 9548 भी 7 से विभाजित है।

✶ 8 का नियम - संख्या के अंतिम तीन अंक से बनी संख्या 8 से विभक्त होनी चाहिए |

जैसे: 176888, 107568

जिस संख्या के इकाई, दहाई और सैकडा के अंक शून्य होते हैं वह संख्या भी 8 से कट जाती है।

जैसे: 626000, 81717000

✶ 9 का नियम - संख्या के अंकों का योग 9 से विभक्त होना चाहिए |

जैसे: 71667 (अंकों का जोड़ 27), 926595 (अंकों का जोड़ 36)

✶ 10 का नियम - इकाई का अंक 0 होना चाहिए |

जैसे: 1160, 7640।

✶ 11 का नियम - संख्या के सम स्थानों के अंकों का योग तथा विषम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 0 होना चाहिए या 11 का गुणज होना चाहिए |

जैसे: 3267, 52173, 89012

52173 में,

सम स्थानों वाले अंकों का योग = 2 + 7 = 9

विषम स्थानों वाले अंकों का योग = 5 + 1 + 3 = 9

इसलिए 52173 विभाजित है 11 से।

✶ 12 का नियम - संख्या 3 एवं 4 दोनों से विभाजित होनी चाहिए |

जैसे: 4632, 50712

✶ 13  से विभाज्यता का नियम: यदि किसी संख्या के इकाई के अंक का चार गुना बाकी अंकों से बनी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त योगफल यदि 13 से विभाजित है, तो वह संख्या भी 13 से विभाजित हो जाएगी।

जैसे: 2639, 5499

✶ 14 से विभाज्यता का नियम: जो संख्या 2 और 7 दोनों से विभाजित होती है, वह 14 से भी विभाजित होती है।

जैसे: 266, 672, 1554

✶ 15 से विभाज्यता का नियम: जो संख्या 3 और 5 दोनों से विभाजित होती है, वह 15 से भी विभाजित होती है।

जैसे: 9765, 15690

✶ 16 का नियम - संख्या के अंतिम चार अंक से बनी संख्या 16 से विभक्त होनी चाहिए |

✶ 17  से विभाज्यता का नियम:  यदि किसी संख्या के इकाई के अंक का 5 गुना बाकी अंकों से बनी संख्या से घटाने पर वह 17 से विभाजित होती है, तो पूरी संख्या 17 से विभाजित होगी।

जैसे:  2074,  391

बड़ी संख्या की स्थिति में इन दोनों चरणों को बार-बार दोहराएँ।

✶ 18 से विभाज्यता का नियम: जो संख्या 3 और 6 दोनों से विभाजित हो, वह संख्या 18 से भी विभाजित होती है।

जैसे: 702, 2286

✶ 19 से विभाज्यता का नियम: यदि किसी संख्या के इकाई के अंक का दोगुना बाकी अंकों से बनी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त संख्या 19 से विभाजित है, तो पूरी संख्या 19 से विभाजित होती है।

जैसे: 703, 1881, 2299

बड़ी संख्या होने पर इन दोनों चरणों को बार-बार दोहराएँ।

✶ 25 का नियम - संख्या के अंतिम दो अंक 00 , 25 , 50 , एवं 75 होनी चाहिए |

✶ यदि कोई संख्या दो या दो से अधिक संख्याओं से अलग - अलग विभक्त होती है , तो वह संख्या उन दी गयी संख्याओं के ल . स . (LCM) से सदैव विभक्त होगी |

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