गणित प्रश्नोत्तरी।।

Q1. यदि a तथा b ऐसे धन पूर्णाक है कि a2 – b2 = 19 है तो a का मान क्या होगा ?

a2 – b2 = 19

(a – b)(a + b) = 19

(a – b)(a + b) = 19 × 1

∴ (a – b) = 19, (a + b) = 1

उपरोक्त दोनों समीकरण को जोड़ने पर

a = 10 और b = -9

Q2. (461 + 462 + 463 + 464) निम्नलिखित में से किससे विभाज्य है ?

a) 3

b) 10

c) 11

हल –

(461 + 462 + 463 + 464)

= 461(1 + 41 + 42 + 43)

= 461(1 + 4 + 16 + 64)

= 461 × 85

उपरोक्त संख्या 5 से विभाजित होगी लेकिन किसी भी आप्शन में 5 नही है

= 460 × 4 × 85

= 460 × 340

∴ उपरोक्त संख्या 10 से विभाजित होगी

Q3. यदि n एक सम संख्या है, तो (6n – 1) निम्नलिखित में से किससे पूर्णतया विभक्त होगा ?

a) 30

b) 35

c) 36

हल –

यदि n एक सम संख्या है तो n = 2 रखने पर (62 – 1) = 35

यदि n एक सम संख्या है तो n = 4 रखने पर (64 – 1) = 1295 = 35 × 37

∴ (6n – 1) संख्या 35 से पूर्णतया विभाजित हो जाता है

Q4. संख्या (13)2003 में इकाई का अंक कितना है ?

संख्या (13)2003 में इकाई का अंक = (3)2003 का इकाई अंक

(3)2003 का इकाई अंक निकलने के लिए हमे दिए हुए अंक की ऐसी घात फाइंड करनी है जिसके इकाई का अंक 1 हो जेसे अंक 3 की घात 4 = 81 के बराबर होता है और अंक 7 की घात 4 = 2401 के बराबर होता है इसके इकाई का अंक 1 है

(3)2003 = 3(500×4)+3

= 3(4×500) × 33 {∴ गुणा में power जुड़ जाती है}

= (34)500 × 33

(34 = 81) में इकाई का अंक 1 होती है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा

(33 = 27) में इकाई का अंक 7 है

∴ संख्या (13)2003 में इकाई का अंक 1 × 7 = 7 होगा

Q5. संख्या (22)23 में इकाई का अंक कितना है ?

संख्या (22)23 में इकाई का अंक = (2)23 का इकाई अंक

(2)23 का इकाई अंक निकलने के लिए हमे दिए हुए अंक की ऐसी घात फाइंड करनी है जिसके इकाई का अंक 1 हो जेसे अंक 3 की घात 4 = 81 के बराबर होता है और अंक 7 की घात 4 = 2401 के बराबर होता है इसके इकाई का अंक 1 है लेकिन अंक 2 की ऐसी कोई घात नही है जिसके इकाई का अंक 1 हो इसलिए यहा पर हम

(2)23 = 2(4×5)+3

= 2(4×5) × 23 {∴ गुणा में power जुड़ जाती है}

= (24)5 × 23

(24 = 16) में इकाई का अंक 6 होता है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 6 ही रहेगा

(23 = 8) में इकाई का अंक 8 है

∴ संख्या (2)23 में इकाई का अंक (6 × 8 = 48) 8 होगा

Q6. (7)105 संख्या में इकाई का अंक कितना है ?

(7)105 का इकाई अंक निकलने के लिए हमे दिए हुए अंक की ऐसी घात फाइंड करनी है जिसके इकाई का अंक 1 हो जेसे अंक 7 की घात 4 = 2401 के बराबर होता है इसके इकाई का अंक 1 है इसलिए

(7)105 = 7(4×26)+1

= 7(4×26) × 71 {∴ गुणा में power जुड़ जाती है}

= (74)26 × 71

(74 = 2401) में इकाई का अंक 1 होता है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा

(71 = 7) में इकाई का अंक 7 है

∴ संख्या (7)105 में इकाई का अंक 1 × 7 = 7 होगा

Q7. (584 × 328 × 547 × 613) में इकाई का अंक कितना है ?

इस प्रकार की संख्या (584 × 328 × 547 × 613) में इकाई का अंक निकालने के लिए हम दिए गए इकाई के अंको की गुणा करेगे

(4 × 8 × 7 × 3) = (48 × 21) = (8 × 1)

इसलिए उपरोक्त संख्या के इकाई का अंक 8 होगा

Q8. (5627)153 × (671)72 में इकाई का अंक कितना है ?

संख्या (5627)153 × (671)72 में इकाई का अंक = (7)153 × (1)72 में इकाई का अंक

(7)153 का इकाई अंक निकलने के लिए हमे दिए हुए अंक (7) की ऐसी घात फाइंड करनी है जिसके इकाई का अंक 1 हो जेसे अंक 7 की घात 4 = 2401 के बराबर होता है इसके इकाई का अंक 1 है इसलिए

(7)153 = 7(4×38)+1

= 7(4×38) × 71 {∴ गुणा में power जुड़ जाती है}

= (74)38 × 71

(74 = 2401) में इकाई का अंक 1 होता है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा

(71 = 7) में इकाई का अंक 7 है

∴ संख्या (7)153 में इकाई का अंक 1 × 7 = 7 होगा ………………………………1

(1)72 में इकाई का अंक 1 होता है

इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा ………………………………2

(7)153 × (1)72 में इकाई का अंक 7 × 1 = 7 होगा

ie. संख्या (5627)153 × (671)72 में इकाई का अंक 7 होगा

Number System problems in Hindi

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Q9. (795 – 358) का इकाई अंक कितना है ?

(795 – 358) का इकाई अंक = (795) का इकाई अंक – 358 का इकाई अंक

(795) = 7(4×23)+3

= 7(4×23) × 73

= (74)23 × 73

(74 = 2401) में इकाई का अंक 1 होता है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा

(73 = 343) में इकाई का अंक 3 है

∴ संख्या 795 में इकाई का अंक 1 × 3 = 3 होगा ………………………………1

(358) = 3(4×14)+2

= 3(4×14) × 32

= (34)14 × 32

(34 = 81) में इकाई का अंक 1 होता है इसलिए चाहे इसकी कितनी ही घात हो इसके इकाई का अंक 1 ही रहेगा

(32 = 9) में इकाई का अंक 9 है

∴ 358 का इकाई अंक 1 × 9 = 9 होगा ………………………………2

समीकरण 1और 2 से

(795 – 358) का इकाई अंक = 3 – 9

मतलब 13 – 9 = 4 होगा

Q10. (361 × 643 × 782) में इकाई का अंक कितना है ?

(361 × 643 × 782) का इकाई अंक = (361) का इकाई अंक × 643 का इकाई अंक × 782 का इकाई अंक

(361) का इकाई अंक ⇒

⇒ (361) = 3(4×15)+1

⇒ 3(4×15) × 31 = (34)14 × 32

(361) का इकाई अंक 1 × 9 = 9 होगा …………………………..1

643 का इकाई अंक ⇒

⇒ (643) = 6(4×10)+3

⇒ 3(4×10) × 33 = (34)10 × 33

(361) का इकाई अंक (1 × 27 = 27) 7 होगा …………………………..2

782 का इकाई अंक ⇒

⇒ (782) = 7(4×20)+2

⇒ 7(4×20) × 72 = (74)20 × 72

(782) का इकाई अंक (1 × 49 = 49) 9 होगा …………………………..3

समीकरण 1, 2 और 3 से

(361 × 643 × 782) का इकाई अंक (9 × 7 × 9 = 567) 7 होगा

Q11. (17)1999 × (11)1999× (7)1999 में इकाई का अंक कितना है ?

(17)1999 का इकाई अंक = (7)1999 का इकाई अंक

(7)(4×499)+3 = (74)499 × 73

1 × 343 = 343 ∴ (17)1999 का इकाई अंक 3 होगा …………………………..1

(11)1999 का इकाई अंक = (1)1999 का इकाई अंक

हम जानते है कि 1 ऐसा अंक है जिसकी चाहे कितनी भी घात कर लो वह 1 ही रहेगा इसलिए इसके इकाई का अंक 1 होगा …………………………..2

(7)1999 का इकाई अंक ⇒

(7)(4×499)+3 = (74)499 × 73

1 × 343 = 343 ∴ (17)1999 का इकाई अंक 3 होगा …………………………..3

समीकरण 1, 2 और 3 से

(17)1999 × (11)1999× (7)1999 में इकाई का अंक (3 × 1 × 3 = 9) 9 होगा

Q12. निम्न में से सबसे छोटी अभाज्य संख्या कोन-सी है ?

a) 0

b) 1

c) 2

Ans. सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है

Q13. 50 और 90 के बीच सभी अभाज्य संख्याओ का योग कितना है ?

50 और 90 के बीच अभाज्य संख्या – 53 और 59

50 और 90 के बीच सभी अभाज्य संख्याओ का योग = 53 + 59 = 112

Q14. 110 और 120 के बीच अभाज्य संख्या है –

अभाज्य संख्या वह होती है जो 1 और स्वयं को छोड़कर किसी और से पूर्णतया विभाजित नही होती हो

जेसे 110 और 120 के बीच अभाज्य संख्या 113 और 119 ऐसी दो संख्याये है जो खुद और 1 को छोड़कर अन्य किसी भी संख्या से पूर्णतया विभाजित नही होती है

Q15. संख्या 161, 373 और 437 में से कोन सी संख्या अभाज्य है –

जेसा कि आपने सवाल नम्बर 14 के हल में पढ़ा

161 संख्या 7 से पूर्णतया विभाजित होती है इसलिए यह एक भाज्य संख्या है

437 संख्या 19 से पूर्णतया विभाजित होती है इसलिए यह एक भाज्य संख्या है

परन्तु 373 हमे किसी भी संख्या से पूर्णतया विभाजित होती हुए दिखाई नही दे रही है

इस पुष्टि को सही साबित के लिए हम

202 > 373

ab हम 20 से छोटी सभी अभाज्य संख्याओं से 373 को भाग करके देखेगे

20 से छोटी सभी अभाज्य संख्याये – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

स्पष्ट है कि 373 उपरोक्त में से किसी भी संख्या से पूर्णतया विभाजित नही होता है

इसलिए 373 एक अभाज्य संख्या है

Q16. प्राकृत संख्या n के लिए (n3 – n) सर्वदा किस बड़ी से बड़ी संख्या से बिभक्त होगा ?

(n3 – n) = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)

यहा पर (n + 1) सबसे बड़ी संख्या होगी जो कि (n3 – n) को पूर्णतया विभक्त करेगी

Q17. संख्याओ 1,2,3,4………………..99,100 को परस्पर गुणा किया जाता है गुणनफल के दाई और अंत में शून्यो की संख्या कितनी होगी ?

गुणनफल के दाई और अंत में शून्यो की संख्या = 2 + 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 +3 = 21

क्योकि 1 से 10 तक शून्यो की संख्या = 2, 11 से 20 तक = 2, ……………, 91 से 100 तक = 3

Q18. 3428 में से कोन-सी न्यूनतम संख्या घटाने पर प्राप्त संख्या 13 से पूर्णतया विभक्त होती है ?

संख्या 3428 को 13 से भाग देने पर शेषफल 9 बचता है

इसलिए जब हम संख्या 3428 में से 9 घटाते है तो प्राप्त संख्या 13 से पूर्णतया विभक्त होगी

Q19. किसी संख्या को 136 से भाग देने पर शेषफल 36 प्राप्त होता है उसी संख्या को यदि 17 से भाग दे तो शेषफल क्या होगा ?

जेसा कि आपको पता होगा कि

भाज्य = भाजक × भागफल + शेष

माना भाज्य = x, भागफल = a

x = 136a + 36

(136a + 36) को 17 से भाग देने पर

[136a + 36] संख्या को हम इस प्रकार भी लिख सकते है [(17 × 8)a + (17×2) + 2]

इसलिए यहा पर शेषफल 2 बचेगा